1. Introducción
Se debe comenzar diciendo que la magnitud de la masa terrestre ya es suficientemente conocida (M = 5.9721685×10+24 kg), por lo cual este artículo no pretende descubrir o innovar en ese sentido. La idea de este trabajo es presentar una metodología alternativa que nos permita desde un enfoque geodésico calcular y validar la masa de la Tierra, aprovechando las órbitas de diferentes satélites geodésicos, tales como los de Altimetría, Gravimetría, GNSS, SAR y SLR.
Para ello, nos basáremos en la combinación de dos fórmulas de física clásica, como lo son la fuerza de gravitación (Fg) de Newton (1) y la fuerza centrípeta (Fc) (2), donde M representara la masa de Tierra a ser calculada, y m la masa de cualquier satélite con órbita (cuasi-circular) conocida alrededor de la Tierra. En este trabajo se equiparán ambas fuerzas de atracción Fg y Fc, asumiendo que estamos trabajando con órbitas circulares estables, es decir, órbitas con una excentricidad muy cerca de cero (≈ 0).
2. Desarrollo matemático
Partiendo de las fórmulas Fg y Fc, podemos igualarlas, con el fin de despejar M, que como ya se dijo, representa la masa de la Tierra, con G representando la constante gravitacional universal, r la distancia entre el centro de masa de la Tierra y el centro de masa del satélite, y T el periodo orbital del satélite. Al igualar 1 y 2, tenemos:
3. Parámetros orbitales del satélite
A partir de los siguientes parámetros orbitales nominales, semi eje mayor (a) y menor (b) y su correspondiente periodo (T), un total de cincuenta (50) constelaciones satelitales fueron usadas: nueve (9) de altimetría, cinco (5) GNSS, seis (6) gravimétricos, dieciocho (18) SAR, y doce (12) SLR. Para los cincuenta satélites se calculó el radio medio (r) de la órbita promediando ambos semiejes, como si se tratara de una órbita circular. Todas las unidades deben estar en el Sistema Internacional (SI), es decir, las unidades del radio medio r deben estar en metros (m), el periodo orbital (T) en segundos (sec.), la masa en kilogramos (kg).
4. Ejemplo numérico
Partiendo de los parámetros orbítales nominales para la constelación GPS, donde:
- Periodo T (sec) = 43,082.00
- Semi eje mayor (m) = 26,559,700.00
- Semi eje menor (m) = 26,559,699.40
- Distancia r (m) = 26,559,699.70
- Constante gravitación universal G (× 10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²) = 6.67428×10⁻¹¹
- Aplicando la fórmula (6) tenemos que, M (kg) = 5.9707897×1024
- Siendo el valor conocido de M (kg) = 5.9721685×1024
5. Cálculo de la masa (M) a partir de las 50 constelaciones satelitales
En la Tabla 1 se muestran los cálculos realizados de M para las 50 constelaciones geodésicas. Tomando en cuenta toda la muestra, se estimó un valor medio de M = 5.980033×1024 kg, una desviación estándar= ± 1.366323 ×1023 kg y un error absoluto RMSE = ± 1.354897×1023 kg.
Adicionalmente, de la Figura 1 se observa que los mejores resultados provienen de las constelaciones GNSS (en color verde) y los residuales más altos provienen de las constelaciones de gravedad (color rojo). De la Figura 2 se puede observar que los residuales más altos corresponden a las órbitas menores a los 10,000,000 m. Al eliminar de la muestra aquellos satélites con órbitas bajas, el valor medio de M = 5.972667×1024 kg se acerca más al valor de referencia conocido, con una desviación estandar = ± 3.763173×1021 kg y un error absoluto RMSE = ± 3.55534×1021 kg.
Tabla 1: Cálculos de la masa de la Tierra (M) en función de parámetros orbitales.
Figura 1: Residuales de la masa M (kg) para cada constelación satelital.
Figura 2: Residuales de la masa M (kg) en función de la distancia r (m).
6. Conclusión
Este método permite calcular la masa terrestre de forma sencilla, rápida, y muy precisa, con un error de 0.06%, siempre que se usen órbitas mayores a los 10,000 km, y lo más circulares posibles. Si bien, esta fórmula para calcular la masa no depende directamente de la excentricidad orbital, se debe enfatizar que los resultados solo serán precisos al usar órbitas cuasi circulares. Para los efectos prácticos de este modelo, el uso de órbitas precisas GNSS no influirá de manera significativa en los resultados.
Finalmente, este método podría aplicarse a cualquier cuerpo celeste, siempre que sus (satélites naturales o artificiales) cumplan las condiciones ya descritas en este trabajo.
